GAMES102_1

Carpe Tu Black Whistle

2022-09-21 10:32:58 2022-09-21 10:32 2022-12-12 11:06:57

graphics

1.1k Words 4 Mins

课程简介

(刘老师说) 计算机图形学主要分为：

建模（设计） Modeling
动画（仿真） Animation
渲染（绘制） Redering

分别对应 GAMES 的基础课 102，103，101
因为，最近在折腾mesh deformation相关的项目，所以开始学习 GAMES10。

课程信息

授课老师：刘利刚
课程主页： http://staff.ustc.edu.cn/~lgliu/Courses/GAMES102_2020/default.html
课程视频： https://www.bilibili.com/video/BV1NA411E7Yr/?spm_id_from=444.41.top_right_bar_window_history.content.click&vd_source=c5b23ffe50af2ac743c8f9bfd9e24efe

一些常识？

图形表示

离散表达：光栅化
函数表达：矢量图

矢量图的光栅化会有锯齿效应

图像成像原理

三维数据的获取流程

制作三维数据:
- 几何数据
- UV展开
- 贴图（纹理
- 材质
- 灯光
- 动画
- …

函数拟合 DataFitting

从一点点数学开始

纯粹（理论）数学

逻辑原则和推理演绎体系

欧几里得《几何原本》
总结规律进行抽象：公理体系
从五个公理出发

集合

集合：一堆具有相同性质的对象（称为元素）
基数（个数）：集合中元素的个数
- 有限集，例如 A={1, 2, 3, 4}
- 无限集
  - 可数集：自然数集N、有理数集Q
  - 不可数集：实数集R、无理数集R\N
运算：交、并、差

线性空间

元素之间有运算：加法、数乘
线性结构：对加法和数乘封闭
- 加法交换律、结合律，数乘分配律，…
基/维数： L = span{} =
- 每个元素表达为n个实数，即一个向量
例子：
- 欧氏空间： 1D实数、2D平面、3D空间、…
- n次多项式

映射

函数

函数空间

完备性： 这个函数空间是否可以表示（逼近）任意函数

赋范空间

内积诱导函数、距离
度量空间：可度量函数之间的距离
- Lp范数
赋范空间+完备性=巴拿赫空间
内积空间（无限维）+完备性=希尔伯特空间

万能逼近定理： Weierstrass逼近

定理1：闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近
定理2：闭区间上周期为的连续函数可用三角函数级数一致逼近

如何求满足要求的函数

大部分的实际应用问题
- 可建模为：找一个映射/变换/函数
- 输入不一样、变量不一样、维数不一样
如何找函数的三部曲
- 到哪儿？
  - 确定某个函数集合/几何
- 找哪个？
  - 度量哪儿个函数是好的/“最好”的
- 怎么找？
  - 求解或优化：不同的优化方法与技巧，既要快、又要好…
- [注]这里先暂时限定为单变量的函数形式

曲线/曲面拟合问题

拟合问题 Fitting

输入：一些观察的数据点
输出： 反映这些数据规律的函数

到哪儿找

选择一个函数空间
- 线性函数空间 A=span{(x),\cdots,B_n(x)}
  - 多项式函数span{}
  - RBF函数 (径向基函数) Guassian Function
  - 三角函数
- 函数表达式
  - 求n+1个系数

找哪儿个

目标1: 函数经过每个数据点（插值）

怎么找

目标1：每个数据点都要插值（零误差）
联立，求解线性方程组：
- 求解线性方程组
- n 次 Langrange 插值多项式
病态问题：系数矩阵条件数高时，求解不稳定

插值与拟合

Lagrange 插值函数

插值n+1个点、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的
- (n+1个变量，n+1个方程)

插值函数的自由度 = 未知数个数 - 已知量个数

最小二乘

函数尽量靠近数据点（逼近
对各系数求导，得到方程（线性方程组）
- AX=b

最小二乘法

问题
- 点多，系数少？
- 点少，系数多？

过拟合和欠拟合

避免过拟合的方法

数据去躁
- 剔除训练样本中噪声
数据增广 data augment
- 增加样本数，或者增加样本的代表性和多样性
模型简化
- 预测模型过于复杂，拟合了训练样本中的噪声
- 选用更简单的模型，或者对模型进行裁剪
正则约束
- 适当的正则项,比如方差正则项、稀疏正则项

岭回归 Ridge Regression

稀疏学习：稀疏正则化

冗余基函数（过完备
通过优化来选择合适的基函数
- 系数向量模（非0元素个数）尽量小
- 挑选（“学习“） 出合适的基函数

压缩感知

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Post author: Carpe Tu
Create time: 2022-09-21 10:32:58
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